第四章

多元函数微分学

偏导数、全微分与多元极值——从一维到多维的推广

高等数学约10% 重点章节

本章学习进度

本章目录

考纲要求
多元函数的基本概念
偏导数
全微分
多元复合函数求导
隐函数求导
多元函数的极值
条件极值与拉格朗日乘数法
方向导数与梯度

📋考纲要求

本章是考研数学的重点章节之一，要求考生理解多元函数的概念，掌握多元函数极限与连续性的含义；深刻理解偏导数与全微分的概念及其关系，熟练掌握多元复合函数与隐函数的求导法则；掌握多元函数极值的判定方法与拉格朗日乘数法；理解方向导数与梯度的概念及其关系。本章内容是一元函数微分学在多维空间的自然推广，也是后续多元函数积分学的基础。

知识点	考试要求	考查层次
多元函数的概念、极限与连续	理解多元函数的概念，了解二元函数的极限与连续	理解
有界闭区域上连续函数的性质	了解有界闭区域上连续函数的性质	了解
偏导数与高阶偏导数	理解偏导数概念，掌握偏导数计算，了解高阶偏导数	掌握
全微分及其应用	理解全微分概念，掌握可微的必要条件与充分条件	掌握
多元复合函数求导法则	掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法	掌握
全微分形式不变性	理解全微分形式不变性并会应用	理解
隐函数存在定理与求导	掌握由一个方程及方程组确定的隐函数求导	掌握
多元函数极值及其判定	理解极值概念，掌握极值的必要条件与充分条件	掌握
条件极值与拉格朗日乘数法	掌握拉格朗日乘数法求条件极值	掌握
方向导数与梯度	理解方向导数与梯度概念，掌握其计算及关系	理解

📌 命题趋势

多元函数微分学在考研数学一中约占10%的分值，是每年必考内容。高频考点包括：偏导数与全微分的计算、复合函数与隐函数求导（尤其是抽象函数的二阶偏导）、多元函数可微性的判定（与连续、偏导数存在的关系）、无条件极值与条件极值（拉格朗日乘数法）的求解。近年来抽象函数求二阶偏导、方向导数与梯度结合的题目出现频率较高，需重点训练。

🌍多元函数的基本概念

一、邻域与区域

设 $P₀(x₀, y₀)$ 是 $xOy$ 平面上的一个点， $δ$ 是某一正数，与点 $P₀(x₀, y₀)$ 距离小于 $δ$ 的点 $P(x, y)$ 的全体，称为点 $P₀$ 的 $δ$ 邻域，记作 $U(P₀, δ)$ ，即

U(P₀, δ) = { (x, y) | \sqrt((x-x₀)² + (y-y₀)²) < δ }

去掉中心点 $P₀$ 的邻域称为去心邻域，记作 $Ů(P₀, δ)$ 。平面上的区域是指连通的开集，连同边界一起构成的区域称为闭区域。若区域可以包含在以原点为中心的某个圆内，则称其为有界区域，否则为无界区域。

二、多元函数的定义

📖 定义：多元函数 ▼

设 $D$ 是平面上的一个非空点集。如果对于 $D$ 中的每一点 $P(x, y)$ ，变量 $z$ 按照一定法则 $f$ 总有确定的值与之对应，则称 $z$ 是变量 $x$ 、 $y$ 的二元函数，记作

z = f(x, y), (x, y) \in D

其中点集 $D$ 称为函数的定义域， $x$ 、 $y$ 称为自变量， $z$ 称为因变量。数集 ${ z | z = f(x, y), (x, y) \in D }$ 称为函数的值域。类似可定义三元函数 $u = f(x, y, z)$ 及 $n$ 元函数。

二元函数 $z = f(x, y)$ 的图形通常是三维空间中的一张曲面。例如 $z = \sqrt(1-x²-y²)$ 的图形是上半球面， $z = x² + y²$ 的图形是旋转抛物面。

三、多元函数的极限

📖 定义：多元函数的极限 ▼

设二元函数 $f(x, y)$ 在点 $P₀(x₀, y₀)$ 的某去心邻域内有定义。如果存在常数 $A$ ，对于任意给定的正数 $ε$ ，总存在正数 $δ$ ，使得当

0 < \sqrt((x-x₀)² + (y-y₀)²) < δ

时，都有 $|f(x, y) - A| < ε$ 成立，则称常数 $A$ 为函数 $f(x, y)$ 当 $(x, y) \to (x₀, y₀)$ 时的极限，记作

lim (x,y)\to(x₀,y₀) f(x, y) = A 或 f(x, y) \to A ((x,y) \to (x₀,y₀))

⚠️ 多元极限趋近方式的复杂性

与一元函数不同，二元函数极限中点 $(x, y) \to (x₀, y₀)$ 的方式有无穷多种（可沿任意路径趋近）。极限存在要求动点以任何方式、任何路径趋近定点时，函数值都趋于同一个常数 A。因此，要证明极限不存在，只需找出两条不同路径使函数趋于不同值（或其中一条趋于无穷）即可。这是多元极限最核心、最易错的考点。

常用判别路径：沿 $y = kx$ 、沿 $y = k(x-x₀)² + y₀$ 、沿坐标轴 $x = x₀$ 或 $y = y₀$ 等。沿所有直线路径极限相同并不能保证极限存在，需谨慎。

多元函数极限的四则运算法则、夹逼准则与一元函数类似。计算二元极限时，常用方法包括：利用连续性直接代入、有理化、等价无穷小替换、极坐标变换 $x = x₀ + r cosθ, y = y₀ + r sinθ$ （将问题转化为 $r \to 0$ ）等。

四、多元函数的连续性

📖 定义：多元函数的连续性 ▼

设二元函数 $f(x, y)$ 在点 $P₀(x₀, y₀)$ 的某邻域内有定义。如果

lim (x,y)\to(x₀,y₀) f(x, y) = f(x₀, y₀)

则称函数 $f(x, y)$ 在点 $P₀(x₀, y₀)$ 处连续。如果函数在区域 $D$ 内每一点都连续，则称函数在 $D$ 上连续。

多元连续函数具有与一元连续函数类似的性质：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数；连续函数的复合函数仍连续。多元初等函数在其定义区域内连续。

💡 有界闭区域上连续函数的性质

若多元函数 $f(P)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则具有：（1）有界性定理—— $f(P)$ 在 $D$ 上有界；（2）最值定理—— $f(P)$ 在 $D$ 上必取得最大值和最小值；（3）介值定理—— $f(P)$ 可取得介于最大值与最小值之间的任何值。这些性质与一元闭区间上连续函数的性质完全平行。

∂偏导数

一、偏导数的定义

在研究多元函数时，常常需要考察函数沿某一坐标方向的变化率，这就引出了偏导数的概念。偏导数的本质是将其他自变量视为常数，只对一个自变量求导。

📖 定义：偏导数 ▼

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x₀, y₀)$ 的某一邻域内有定义。当 $y$ 固定在 $y₀$ 而 $x$ 在 $x₀$ 处有增量 $Δx$ 时，相应的函数有增量 $f(x₀+Δx, y₀) - f(x₀, y₀)$ 。如果极限

lim Δx\to0 [ f(x₀+Δx, y₀) - f(x₀, y₀) ] / Δx

存在，则称此极限为函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x₀, y₀)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作

\partialz/\partialx | (x₀,y₀) 或 f x (x₀, y₀) 或 \partialf/\partialx | (x₀,y₀)

类似地可定义对 $y$ 的偏导数 $f y (x₀, y₀)$ 。

二、偏导数的计算方法

由定义可知，求偏导数不需要新的求导法则，只需将其他变量视为常数，用一元函数的求导公式和法则对目标变量求导即可。

例如，设 $z = x²y + sin(xy)$ ，求 $\partialz/\partialx$ 时将 $y$ 视为常数： $\partialz/\partialx = 2xy + y cos(xy)$ ；求 $\partialz/\partialy$ 时将 $x$ 视为常数： $\partialz/\partialy = x² + x cos(xy)$ 。

⚠️ 偏导数存在不保证连续

一元函数中"可导必连续"，但多元函数中偏导数存在并不能保证函数连续。例如函数 $f(x,y) = xy/(x²+y²)$ （补充 $f(0,0)=0$ ）在原点处两个偏导数均存在且为 0，但该函数在原点处甚至不连续（沿 $y=kx$ 趋近原点极限与 $k$ 有关）。这是因为偏导数只反映沿坐标轴方向的变化率，不能刻画整体行为。

三、高阶偏导数

设函数 $z = f(x, y)$ 在区域 $D$ 内具有偏导数 $\partialz/\partialx$ 、 $\partialz/\partialy$ ，则这两个偏导数仍是 $x$ 、 $y$ 的函数。如果它们也存在偏导数，则称其为 $f(x, y)$ 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数共有四个：

\partial²z/\partialx² = \partial/\partialx(\partialz/\partialx), \partial²z/\partialy² = \partial/\partialy(\partialz/\partialy)

\partial²z/\partialx\partialy = \partial/\partialy(\partialz/\partialx), \partial²z/\partialy\partialx = \partial/\partialx(\partialz/\partialy)

其中 $\partial²z/\partialx\partialy$ 和 $\partial²z/\partialy\partialx$ 称为混合偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

📘 定理：混合偏导数相等的条件 ▼

如果函数 $z = f(x, y)$ 的两个二阶混合偏导数 $\partial²z/\partialx\partialy$ 及 $\partial²z/\partialy\partialx$ 在区域 $D$ 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等，即

\partial²z/\partialx\partialy = \partial²z/\partialy\partialx

此结论可推广到更高阶的混合偏导数：在连续的条件下，混合偏导数与求导次序无关。考研中遇到的初等函数一般满足连续性条件，故混合偏导数可直接认为相等，这给计算带来很大便利。

Δ全微分

一、全微分的定义

偏导数只描述了函数沿坐标轴方向的变化率。要描述函数在某点处的整体变化，需要引入全微分的概念。设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某邻域内有定义，当自变量有增量 $Δx$ 、 $Δy$ 时，函数的全增量为

Δz = f(x+Δx, y+Δy) - f(x, y)

📖 定义：全微分 ▼

如果函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的全增量 $Δz$ 可表示为

Δz = AΔx + BΔy + o(ρ)

其中 $A$ 、 $B$ 不依赖于 $Δx$ 、 $Δy$ ，而仅与 $x$ 、 $y$ 有关， $ρ = \sqrt((Δx)² + (Δy)²)$ ，则称函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微分，而 $AΔx + BΔy$ 称为函数在该点的全微分，记作 $dz$ ，即

dz = AΔx + BΔy = A dx + B dy

二、可微的必要条件与充分条件

📘 定理1：可微的必要条件（偏导数存在） ▼

若函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微，则该函数在点 $(x, y)$ 处的偏导数 $\partialz/\partialx$ 、 $\partialz/\partialy$ 必定存在，且全微分中的系数 $A = \partialz/\partialx$ ， $B = \partialz/\partialy$ ，即

dz = (\partialz/\partialx) dx + (\partialz/\partialy) dy

逆否命题：若偏导数不存在，则一定不可微。但偏导数存在并不一定可微（偏导数存在是可微的必要非充分条件）。

📘 定理2：可微的充分条件（偏导数连续） ▼

若函数 $z = f(x, y)$ 的偏导数 $\partialz/\partialx$ 、 $\partialz/\partialy$ 在点 $(x, y)$ 处连续，则函数在该点可微分。

注意：偏导数连续是可微的充分条件，但非必要条件（存在偏导数不连续但可微的函数）。

判定函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x₀, y₀)$ 处是否可微，最基本的方法是考察极限：

lim (Δx,Δy)\to(0,0) [ Δz - f x (x₀,y₀)Δx - f y (x₀,y₀)Δy ] / \sqrt((Δx)²+(Δy)²)

若该极限等于 0，则函数可微；若极限不存在或不为 0，则不可微。这是考研判定可微性的核心方法。

🚨 关系辨析：可微、偏导数存在、连续

多元函数中"可微、偏导数存在、连续"三者的关系是考研高频易错点，必须严格区分：

1. 可微 ⇒ 偏导数存在（必要条件），但偏导数存在 ⇏ 可微。

2. 可微 ⇒ 连续（可微必连续），但连续 ⇏ 可微。

3. 偏导数存在 ⇏ 连续，连续 ⇏ 偏导数存在（两者互不蕴含）。

4. 偏导数连续 ⇒ 可微（充分条件），但可微 ⇏ 偏导数连续。

逻辑链（从强到弱）：偏导数连续 ⇒ 可微 ⇒ 偏导数存在；可微 ⇒ 连续。注意"偏导数存在"与"连续"之间无推出关系。判定可微性时，不能用"偏导数存在"替代，必须用定义验证 $Δz - dz = o(ρ)$ 。

三、全微分在近似计算中的应用

当 $|Δx|$ 、 $|Δy|$ 都很小时，有近似关系 $Δz \approx dz$ ，即

Δz = f(x₀+Δx, y₀+Δy) - f(x₀, y₀) \approx f x (x₀,y₀)Δx + f y (x₀,y₀)Δy

等价地有 $f(x₀+Δx, y₀+Δy) \approx f(x₀, y₀) + f x (x₀,y₀)Δx + f y (x₀,y₀)Δy$ 。这一公式可用于近似计算函数值或估计误差。

🔗多元复合函数求导

一、链式法则

多元复合函数的求导是本章的重点和难点。其核心是链式法则，关键在于分清中间变量与自变量，画变量依赖关系图（树形图）后逐层求导相乘、分叉相加。

情形一：中间变量均为一元函数

设 $z = f(u, v)$ ，而 $u = u(t)$ ， $v = v(t)$ ，则 $z$ 是 $t$ 的一元函数，其全导数为：

dz/dt = (\partialf/\partialu)\cdot(du/dt) + (\partialf/\partialv)\cdot(dv/dt) 全导数

情形二：中间变量为多元函数

设 $z = f(u, v)$ ，而 $u = u(x, y)$ ， $v = v(x, y)$ ，则 $z$ 是 $x$ 、 $y$ 的复合函数，其偏导数为：

\partialz/\partialx = (\partialf/\partialu)\cdot(\partialu/\partialx) + (\partialf/\partialv)\cdot(\partialv/\partialx)

\partialz/\partialy = (\partialf/\partialu)\cdot(\partialu/\partialy) + (\partialf/\partialv)\cdot(\partialv/\partialy) 链式法则

情形三：混合型（中间变量有一元也有多元）

设 $z = f(u, v, w)$ ，而 $u = u(x, y)$ ， $v = v(x, y)$ ， $w = w(x)$ ，则

\partialz/\partialx = (\partialf/\partialu)\cdot(\partialu/\partialx) + (\partialf/\partialv)\cdot(\partialv/\partialx) + (\partialf/\partialw)\cdot(dw/dx)

注意 $w$ 仅是 $x$ 的一元函数，故用全导数 $dw/dx$ 。

💡 链式法则解题口诀

"分清复合关系，画出树形图；同一路径相乘，不同路径相加；对自变量用偏导，对中间变量的一元函数用全导。"求高阶偏导时，注意 $\partialf/\partialu$ 、 $\partialf/\partialv$ 仍是通过中间变量 $u$ 、 $v$ 依赖于 $x$ 、 $y$ 的复合函数，需再次使用链式法则，这是抽象函数求二阶偏导的关键。

二、全微分形式不变性

设 $z = f(u, v)$ 具有连续偏导数，无论 $u$ 、 $v$ 是自变量还是中间变量，其全微分形式不变，均为：

dz = (\partialf/\partialu) du + (\partialf/\partialv) dv 形式不变性

当 $u$ 、 $v$ 是 $x$ 、 $y$ 的函数时，将 $du = (\partialu/\partialx)dx + (\partialu/\partialy)dy$ 、 $dv = (\partialv/\partialx)dx + (\partialv/\partialy)dy$ 代入并整理，比较 $dx$ 、 $dy$ 的系数即可得到 $\partialz/\partialx$ 、 $\partialz/\partialy$ 。利用形式不变性可避免记忆复杂的链式公式，是求偏导的实用技巧。

🔍隐函数求导

一、一个方程确定的隐函数

📘 定理：隐函数存在定理1（一个方程两个变量） ▼

设函数 $F(x, y)$ 在点 $P(x₀, y₀)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且满足：(1) $F(x₀, y₀) = 0$ ；(2) $F y (x₀, y₀) \neq 0$ 。则方程 $F(x, y) = 0$ 在点 $(x₀, y₀)$ 的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续导数的隐函数 $y = f(x)$ ，满足 $y₀ = f(x₀)$ ，并有

dy/dx = - F x (x, y) / F y (x, y) （F y \neq 0）

📘 定理：隐函数存在定理2（一个方程三个变量） ▼

设函数 $F(x, y, z)$ 在点 $P(x₀, y₀, z₀)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且满足：(1) $F(x₀, y₀, z₀) = 0$ ；(2) $F z (x₀, y₀, z₀) \neq 0$ 。则方程 $F(x, y, z) = 0$ 在点 $(x₀, y₀, z₀)$ 的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的隐函数 $z = f(x, y)$ ，并有

\partialz/\partialx = - F x /F z, \partialz/\partialy = - F y /F z （F z \neq 0）

💡 隐函数求导公式的记忆

公式规律：隐函数对某自变量的偏导数 = 负的 F 对该自变量的偏导数除以 F 对因变量的偏导数。即"负号在上（自变量），分母是因变量的偏导"。计算时将 $F$ 看作三个独立变量的函数直接求偏导，不要先解出因变量。

二、方程组确定的隐函数

设方程组 $F(x, y, u, v) = 0$ ， $G(x, y, u, v) = 0$ 在一定条件下可确定一对隐函数 $u = u(x, y)$ 、 $v = v(x, y)$ 。求偏导数可用以下方法：

方法一：公式法。设雅可比行列式 $J = \partial(F,G)/\partial(u,v) = |F u F v; G u G v | \neq 0$ ，则

\partialu/\partialx = - (1/J)\cdot|F x F v; G x G v |, \partialv/\partialx = - (1/J)\cdot|F u F x; G u G x |

方法二：直接求导法。对方程组两边直接关于 $x$ 求偏导（注意 $u$ 、 $v$ 是 $x$ 的函数），得到关于 $\partialu/\partialx$ 、 $\partialv/\partialx$ 的线性方程组，解之即可。此法更常用、不易出错。

方法三：全微分法。对方程组两边取全微分，得到关于 $du$ 、 $dv$ 的线性方程组，解出 $du$ 、 $dv$ 后，比较 $dx$ 、 $dy$ 的系数即得各偏导数。

⛰️多元函数的极值

一、极值的定义

📖 定义：多元函数的极值 ▼

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x₀, y₀)$ 的某邻域内有定义。如果对于该邻域内异于 $(x₀, y₀)$ 的任何点 $(x, y)$ ，都有

f(x, y) < f(x₀, y₀) （或 f(x, y) > f(x₀, y₀)）

则称函数 $f(x, y)$ 在点 $(x₀, y₀)$ 处有极大值（或极小值） $f(x₀, y₀)$ ，点 $(x₀, y₀)$ 称为极大值点（或极小值点）。极大值与极小值统称为极值，极值点统称为极值点。

二、极值的必要条件

📘 定理：极值的必要条件 ▼

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x₀, y₀)$ 处具有偏导数，且在 $(x₀, y₀)$ 处有极值，则有

f x (x₀, y₀) = 0, f y (x₀, y₀) = 0

使两个偏导数同时为零的点称为驻点（稳定点）。注意：极值点一定是驻点（偏导数存在时），但驻点不一定是极值点（如 $z = xy$ 在原点）。此外，偏导数不存在的点也可能是极值点。

三、极值的充分条件

📘 定理：极值的充分条件（判别式 AC−B²） ▼

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x₀, y₀)$ 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 $f x (x₀, y₀) = 0$ ， $f y (x₀, y₀) = 0$ 。记

A = f xx (x₀, y₀), B = f xy (x₀, y₀), C = f yy (x₀, y₀)

令判别式 $Δ = AC - B²$ ，则：

(1) 若 $Δ > 0$ 且 $A < 0$ ，则 $f(x₀, y₀)$ 为极大值；

(2) 若 $Δ > 0$ 且 $A > 0$ ，则 $f(x₀, y₀)$ 为极小值；

(3) 若 $Δ < 0$ ，则 $f(x₀, y₀)$ 不是极值（ $(x₀, y₀)$ 为鞍点）；

(4) 若 $Δ = 0$ ，则不能判定，需另用其他方法（如定义、沿不同路径考察等）。

💡 求无条件极值的解题步骤

第一步：解方程组 $f x (x, y) = 0$ ， $f y (x, y) = 0$ ，求出全部驻点。

第二步：对每个驻点计算二阶偏导数 $A = f xx$ 、 $B = f xy$ 、 $C = f yy$ 及判别式 $Δ = AC - B²$ 。

第三步：根据判别式判定：Δ>0 且 A<0 为极大值；Δ>0 且 A>0 为极小值；Δ<0 不是极值；Δ=0 需另法判定。

第四步：不要遗漏偏导数不存在的点，需用定义单独考察其是否为极值点。求最值时还需与边界值比较。

对于实际问题中的最值问题，若由问题的实际意义知最大值（或最小值）一定存在，且在区域内部取得，而区域内只有一个驻点，则该驻点即为所求的最大值点（或最小值点），无需再用判别式验证。

🎯条件极值与拉格朗日乘数法

一、条件极值的概念

前面讨论的极值，自变量在函数定义域内自由变化，称为无条件极值。如果在求极值时，自变量还须满足某些附加条件（约束条件），则称为条件极值。例如，求函数 $z = f(x, y)$ 在条件 $φ(x, y) = 0$ 下的极值。

条件极值的求解方法主要有两种：代入法（从约束条件中解出一个变量代入目标函数，化为无条件极值）和拉格朗日乘数法。当约束条件难以显式解出时，拉格朗日乘数法更为通用。

二、拉格朗日乘数法

求目标函数 $z = f(x, y)$ 在约束条件 $φ(x, y) = 0$ 下的条件极值，步骤如下：

第一步：构造拉格朗日函数（引入拉格朗日乘数 $λ$ ）：

L(x, y, λ) = f(x, y) + λ\cdotφ(x, y) 拉格朗日函数

第二步：求解方程组：

{ L x = f x (x, y) + λφ x (x, y) = 0; L y = f y (x, y) + λφ y (x, y) = 0; φ(x, y) = 0 }

第三步：解出 $x$ 、 $y$ （及 $λ$ ），得到的点 $(x₀, y₀)$ 即为可能的条件极值点。

第四步：判断是否为极值及极大极小。理论判定较复杂，实际问题中常根据问题实际意义直接判定。

📌 推广到多个约束条件

若求 $u = f(x, y, z)$ 在两个约束条件 $φ(x,y,z)=0$ 、 $ψ(x,y,z)=0$ 下的极值，构造 $L = f + λφ + μψ$ ，对 $x, y, z, λ, μ$ 求偏导令其为零，解五元方程组。每个等式约束引入一个拉格朗日乘数。

📝 拉格朗日乘数法示例

题目：求函数

f(x, y) = x² + y²

在约束条件

x + y = 1

下的极值。

解答：

分析：这是条件极值问题，约束 $φ(x,y) = x + y - 1 = 0$ 。

构造拉格朗日函数： $L = x² + y² + λ(x + y - 1)$ 。

对 $x$ 、 $y$ 、 $λ$ 求偏导并令其为零：

$L x = 2x + λ = 0$ ① $L y = 2y + λ = 0$ ② $L λ = x + y - 1 = 0$ ③

由 ①② 得 $2x = 2y$ ，即 $x = y$ 。代入 ③： $2x = 1$ ，得 $x = 1/2, y = 1/2$ 。

此时 $f(1/2, 1/2) = (1/2)² + (1/2)² = 1/2$ 。由实际意义（点到直线的距离平方最小值）， $(1/2, 1/2)$ 为条件极小值点，极小值为 $1/2$ 。

🧭方向导数与梯度

一、方向导数

📖 定义：方向导数 ▼

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $P(x, y)$ 的某一邻域内有定义。自点 $P$ 引射线 $l$ ，其方向单位向量为 $e l = (cosα, cosβ)$ （ $α$ 、 $β$ 为方向角）。若极限

lim ρ\to0⁺ [ f(x + ρcosα, y + ρcosβ) - f(x, y) ] / ρ

存在，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在点 $P$ 沿方向 $l$ 的方向导数，记作 $\partialf/\partiall$ ，其中 $ρ = \sqrt((Δx)²+(Δy)²)$ 。

方向导数描述了函数在某点沿指定方向的变化率。当 $α = 0$ （沿 $x$ 轴正向）时，方向导数即偏导数 $\partialf/\partialx$ ；当 $α = π$ （沿 $x$ 轴负向）时，方向导数为 $-\partialf/\partialx$ 。

📘 定理：方向导数的计算公式 ▼

如果函数 $z = f(x, y)$ 在点 $P(x, y)$ 处可微，则函数在该点沿任一方向 $l$ （单位向量 $e l = (cosα, cosβ)$ ）的方向导数都存在，且

\partialf/\partiall = (\partialf/\partialx) cosα + (\partialf/\partialy) cosβ 方向导数

对三元函数 $u = f(x, y, z)$ ，沿方向 $e l = (cosα, cosβ, cosγ)$ 的方向导数为：

\partialf/\partiall = (\partialf/\partialx) cosα + (\partialf/\partialy) cosβ + (\partialf/\partialz) cosγ

二、梯度

📖 定义：梯度 ▼

设函数 $z = f(x, y)$ 在平面区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 $P(x, y) \in D$ ，都可定出一个向量

grad f(x, y) = \nablaf = (\partialf/\partialx) i + (\partialf/\partialy) j 梯度

称为函数 $f(x, y)$ 在点 $P(x, y)$ 的梯度，记作 $grad f$ 或 $\nablaf$ 。三元函数的梯度为 $\nablaf = (\partialf/\partialx, \partialf/\partialy, \partialf/\partialz)$ 。

方向导数与梯度的关系是本节的核心。利用点积，方向导数可表示为：

\partialf/\partiall = grad f \cdot e l = |grad f| \cdot cosθ 方向导数与梯度的关系

其中 $θ$ 为梯度与方向 $l$ 的夹角。由此可得梯度的重要意义：

(1) 当 $θ = 0$ （方向与梯度同向）时， $cosθ = 1$ ，方向导数取最大值 $|grad f|$ 。即函数沿梯度方向增长最快，最大变化率为梯度的模。

(2) 当 $θ = π$ （方向与梯度反向）时，方向导数取最小值 $-|grad f|$ ，即沿负梯度方向下降最快。

(3) 当 $θ = π/2$ （方向与梯度垂直）时，方向导数为 0，即沿等值线（等值面）方向函数值不变。

💡 梯度的几何意义

梯度方向是函数在该点增长最快的方向，且与过该点的等值线（曲面）的切线方向垂直（指向等值线增大的一侧）。梯度的模 $|\nablaf| = \sqrt((\partialf/\partialx)² + (\partialf/\partialy)²)$ 等于最大方向导数的值。这是梯度下降法等优化算法的理论基础。

📝典型例题

📝 例题1：偏导数计算

题目：设

z = xʸ (x > 0, x \neq 1)

，求

\partialz/\partialx

与

\partialz/\partialy

。

解答：

分析：对 $x$ 求偏导时， $y$ 视为常数， $xʸ$ 是幂函数；对 $y$ 求偏导时， $x$ 视为常数， $xʸ$ 是指数函数。

对 $x$ 求偏导（视 $y$ 为常数，幂函数求导）：

$\partialz/\partialx = y\cdotx y-1$

对 $y$ 求偏导（视 $x$ 为常数，指数函数求导）：

$\partialz/\partialy = xʸ \cdot ln x$

说明：同一个函数 $xʸ$ ，对不同变量求偏导时呈现不同的函数类型，这是偏导数计算中常见的"双重身份"现象，须特别注意。

📝 例题2：全微分判定

题目：讨论函数

f(x, y) = \sqrt(|xy|)

在点

(0, 0)

处的连续性、偏导数存在性及可微性。

解答：

① 连续性：由 $|f(x,y) - f(0,0)| = \sqrt(|xy|) \leq \sqrt((x²+y²)/2) \to 0$ （当 $(x,y)\to(0,0)$ ），故 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续。

② 偏导数：由定义， $f x (0,0) = lim Δx\to0 [\sqrt(|Δx\cdot0|) - 0]/Δx = 0$ ，同理 $f y (0,0) = 0$ 。两个偏导数均存在且为 0。

③ 可微性：考察极限

$lim (Δx,Δy)\to(0,0) [Δz - 0\cdotΔx - 0\cdotΔy] / \sqrt((Δx)²+(Δy)²) = lim \sqrt(|Δx\cdotΔy|) / \sqrt((Δx)²+(Δy)²)$

沿路径 $Δy = Δx$ 趋近时，上式为 $|Δx| / \sqrt(2Δx²) = 1/\sqrt2 \neq 0$ 。故该极限不为 0，函数在 $(0,0)$ 处不可微。

结论：该函数在原点连续、偏导数存在，但不可微。这印证了"偏导数存在不足以保证可微"。

📝 例题3：复合函数求导

题目：设

z = f(x²y, y/x)

，其中

f

具有二阶连续偏导数，求

\partialz/\partialx

与

\partial²z/\partialx\partialy

。

解答：

分析：令 $u = x²y$ ， $v = y/x$ ，则 $z = f(u, v)$ 。用链式法则，记 $f₁' = \partialf/\partialu$ ， $f₂' = \partialf/\partialv$ 。

先求一阶偏导： $\partialu/\partialx = 2xy$ ， $\partialv/\partialx = -y/x²$ ，故

$\partialz/\partialx = f₁'\cdot2xy + f₂'\cdot(-y/x²) = 2xy\cdotf₁' - (y/x²)\cdotf₂'$

再对 $y$ 求偏导（注意 $f₁'$ 、 $f₂'$ 仍是 $u, v$ 的函数）： $\partialu/\partialy = x²$ ， $\partialv/\partialy = 1/x$ 。

$\partial²z/\partialx\partialy = \partial/\partialy[2xy\cdotf₁' - (y/x²)\cdotf₂']$

逐项求导（乘积法则 + 链式法则）：

$= 2x\cdotf₁' + 2xy\cdot(f₁₁″\cdotx² + f₁₂″\cdot(1/x)) - (1/x²)\cdotf₂' - (y/x²)\cdot(f₂₁″\cdotx² + f₂₂″\cdot(1/x))$

利用 $f₁₂″ = f₂₁″$ （二阶连续偏导保证混合偏导相等），整理得：

$\partial²z/\partialx\partialy = 2x\cdotf₁' - (1/x²)\cdotf₂' + 2x³y\cdotf₁₁″ + (2y - y)\cdotf₁₂″ - (y/x³)\cdotf₂₂″$

即： $= 2x f₁' - x⁻² f₂' + 2x³y f₁₁″ + y f₁₂″ - y x⁻³ f₂₂″$ 。

说明：抽象复合函数求二阶偏导时，务必记住 $f₁'$ 、 $f₂'$ 仍是中间变量 $u, v$ 的函数，需再次使用链式法则，这是考研高频考点。

📝 例题4：条件极值应用

题目：在周长为

2a

的所有矩形中，求面积最大的矩形。

解答：

分析：设矩形边长为 $x$ 、 $y$ ，则约束条件为 $2(x + y) = 2a$ ，即 $x + y = a$ （ $x>0, y>0$ ）；目标函数为面积 $S = xy$ 。

构造拉格朗日函数： $L = xy + λ(x + y - a)$ 。

求偏导令其为零：

$L x = y + λ = 0$ ① $L y = x + λ = 0$ ② $L λ = x + y - a = 0$ ③

由 ①② 得 $y = x$ （均等于 $-λ$ ）。代入 ③： $2x = a$ ，故 $x = a/2, y = a/2$ 。

此时 $S = (a/2)² = a²/4$ 。由于面积最大值一定存在（实际问题）且驻点唯一，故当矩形为正方形（边长 $a/2$ ）时面积最大，最大面积为 $a²/4$ 。

说明：此类实际最值问题，由实际意义保证最值存在，区域内唯一驻点即为所求最值点，无需再用判别式验证。

📝 自测练习

完成以下5道选择题，检验本章学习效果。每题作答后即时显示对错与解析。

1函数

z = xʸ

（

x > 0

）的偏导数

\partialz/\partialy

为：

A y·x^y−1
B xʸ · ln x
C xʸ · ln y
D y·x^y · ln x

解析：对 y 求偏导时视 x 为常数，xʸ 是以 x 为底、y 为指数的指数函数，求导得 ∂z/∂y = xʸ · ln x。而 y·x^(y−1) 是对 x 求偏导（幂函数）的结果。正确答案为 B。

2设

f(x, y) = (x² + y²)/(xy)

，考察

(x,y)\to(0,0)

时的极限，下列结论正确的是：

A 极限存在且为 0
B 极限存在且为 2
C 极限不存在
D 极限存在但无法确定值

解析：沿 y = kx 趋近原点，f(x,kx) = (x²+k²x²)/(kx²) = (1+k²)/k，其值依赖于 k（如 k=1 时为 2，k=2 时为 5/2），不同路径极限不同，故极限不存在。这体现了多元极限对路径的依赖性。正确答案为 C。

3函数

z = x³ - 3x + y²

的驻点

(1, 0)

是：

A 极小值点
B 极大值点
C 鞍点（非极值点）
D 无法判定

解析：z_x = 3x²−3=0 得 x=±1，z_y=2y=0 得 y=0，驻点为 (1,0) 与 (−1,0)。在 (1,0)：A=z_xx=6x=6，B=z_xy=0，C=z_yy=2，Δ=AC−B²=12>0 且 A=6>0，故为极小值点。（注：(−1,0) 处 A=−6，Δ=−12<0 为鞍点）。正确答案为 A。

4设

u = ln(x² + y² + z²)

，则

grad u

在点

(1, 1, 1)

处为：

A (1, 1, 1)
B (1/3, 1/3, 1/3)
C (2/3, 2/3, 2/3)
D (2, 2, 2)

解析：grad u = (2x/(x²+y²+z²), 2y/(x²+y²+z²), 2z/(x²+y²+z²))。在 (1,1,1) 处，x²+y²+z²=3，故 grad u = (2/3, 2/3, 2/3)。正确答案为 C。

5设方程

x² + y² + z² - 6z = 0

确定

z = z(x, y)

，则

\partialz/\partialx

在点

(1, 2, 1)

处的值为：

A −1/2
B 1/2
C 2
D −2

解析：令 F(x,y,z) = x²+y²+z²−6z，则 F_x = 2x，F_z = 2z−6。由隐函数求导公式 ∂z/∂x = −F_x/F_z = −2x/(2z−6)。在点 (1,2,1) 处（验证：1+4+1−6=0，点在曲面上），∂z/∂x = −2·1/(2·1−6) = −2/(−4) = 1/2。正确答案为 B。

📖 章节小结

多元函数极限是本章的难点之一。其与一元极限的根本区别在于趋近方式的多样性：极限存在要求沿任意路径趋近时极限相同。证明极限不存在，只需找到两条不同路径给出不同极限值。注意"沿所有直线路径极限相同"并不保证极限存在。
偏导数本质是固定其他变量后对某一变量的一元求导，计算上无需新法则。但偏导数存在不保证连续，更不保证可微，这是与一元函数"可导必连续"的重大区别。在连续条件下，混合偏导数与求导次序无关：∂²z/∂x∂y = ∂²z/∂y∂x。
全微分是本章的核心概念。可微的定义为 Δz = AΔx + BΔy + o(ρ)，且 dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy。牢记关系链：偏导数连续 ⇒ 可微 ⇒ 偏导数存在；可微 ⇒ 连续。判定可微性必须用定义验证 Δz − dz = o(ρ)，不能用偏导数存在替代。
复合函数求导的关键是链式法则，核心方法是画变量依赖树形图："同路相乘，异路相加"。求抽象函数二阶偏导时，须注意一阶偏导仍是中间变量的函数，需再次使用链式法则，这是考研高频考点。全微分形式不变性 dz = f_u du + f_v dv 提供了简便的求导途径。
隐函数求导牢记公式：一个方程 F(x,y,z)=0 时 ∂z/∂x = −F_x/F_z（F_z≠0），口诀为"负号在上（自变量），分母是因变量的偏导"。方程组情形可用公式法、直接求导法或全微分法，其中直接对方程组求偏导再解线性方程组最常用。
无条件极值：先解方程组 f_x=0, f_y=0 求驻点，再用判别式 Δ=AC−B² 判定：Δ>0 且 A<0 为极大值，Δ>0 且 A>0 为极小值，Δ<0 不是极值，Δ=0 需另法。勿忘考察偏导数不存在的点。实际最值问题中唯一驻点常即所求最值点。
条件极值用拉格朗日乘数法：构造 L = f + λφ（多个约束则加多个乘数），解方程组 L_x=L_y=L_λ=0 得可能极值点，由实际意义判定。每个等式约束引入一个拉格朗日乘数。
方向导数与梯度：方向导数 ∂f/∂l = grad f · e_l = |grad f|cosθ。梯度方向是函数增长最快的方向，最大方向导数等于梯度的模；负梯度方向下降最快；梯度方向与等值线（面）垂直。三者关系是考研常考概念辨析点。

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