多元函数积分学
二重积分、三重积分与曲线曲面积分——多元积分的完整体系
考纲要求
本章是考研数学一中分值占比最高的章节之一，内容涵盖二重积分、三重积分、两类曲线积分、两类曲面积分以及联系它们的三大重要公式（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）。要求考生理解各类多元积分的概念，熟练掌握其计算方法，并能灵活运用三大公式简化计算、解决场论问题。
| 知识点 | 考试要求 | 考查层次 |
|---|---|---|
| 二重积分的概念、性质 | 理解二重积分的概念，掌握二重积分的性质 | 理解 |
| 二重积分的计算 | 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标） | 掌握 |
| 三重积分的概念与计算 | 理解三重积分的概念，掌握其计算（直角、柱、球坐标） | 掌握 |
| 两类曲线积分的概念与计算 | 理解两类曲线积分的概念，掌握其计算方法 | 理解 |
| 两类曲线积分的关系 | 了解两类曲线积分的关系并会相互转化 | 了解 |
| 格林公式 | 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件 | 掌握 |
| 两类曲面积分的概念与计算 | 了解两类曲面积分的概念、性质及计算，了解两类关系 | 了解 |
| 高斯公式 | 掌握高斯公式，会计算通量与散度 | 掌握 |
| 斯托克斯公式 | 掌握斯托克斯公式，会计算环量与旋度 | 掌握 |
多元函数积分学在考研数学一中约占13%的分值，是每年必考且分值较高的内容。重点考查二重积分（尤其极坐标与坐标系选择）、三重积分（柱坐标与球坐标）、格林公式及其路径无关条件、高斯公式计算曲面积分。近年来斯托克斯公式、散度与旋度的场论意义考查频率上升。三大公式的灵活运用（含"补面法""挖洞法"处理未封闭或含奇点情形）是拉开分数差距的关键。
二重积分的概念与性质
一、二重积分的定义
设二元函数 f(x, y) 在有界闭区域 D 上有界。将 D 任意分割成 n 个小闭区域 Δσ₁, Δσ₂, …, Δσₙ（同时用 Δσᵢ 表示其面积），记各小区域直径的最大值为 λ。在每个 Δσᵢ 上任取一点 (ξᵢ, ηᵢ)，作乘积 f(ξᵢ, ηᵢ)·Δσᵢ 并求和 ∑ᵢ f(ξᵢ, ηᵢ)Δσᵢ。若当 λ → 0 时该和的极限总存在且与分割方式、取点方式无关，则称此极限为 f(x, y) 在 D 上的二重积分，记作
其中 f(x, y) 称为被积函数，f(x, y)dσ 称为被积表达式，dσ 称为面积元素，D 称为积分区域。
若 f(x, y) 在闭区域 D 上连续，则 f(x, y) 在 D 上可积。这是二重积分存在的充分条件。此外，若 f(x, y) 在 D 上有界且除去有限条光滑曲线外处处连续，则也可积。
二、二重积分的几何意义
当 f(x, y) ≥ 0 时，二重积分 ∬D f(x, y) dσ 表示以曲面 z = f(x, y) 为顶、以 D 为底的曲顶柱体体积。当 f(x, y) = 1 时，∬D dσ = SD（即区域 D 的面积）。当 f(x, y) 有正有负时，二重积分表示体积的代数和（xOy 面上方取正，下方取负）。
三、二重积分的性质
二重积分具有与定积分类似的性质，这些性质在简化计算和理论分析中非常重要：
利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性可极大简化计算：若 D 关于 y 轴对称，f 关于 x 为奇函数则积分为 0，为偶函数则为 2 倍半区域积分；关于 x 轴对称同理。这是考研解答题的高频得分点。
二重积分的计算
二重积分的计算核心是将其转化为二次积分（累次积分）。关键在于根据积分区域的形状和被积函数的特点，选择合适的坐标系和积分次序。
一、直角坐标系下的计算
在直角坐标系下，面积元素 dσ = dxdy。设积分区域 D 可表示为两种类型：
1. X-型区域（先 y 后 x）
若 D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, φ₁(x) ≤ y ≤ φ₂(x)}，其中 φ₁(x), φ₂(x) 在 [a, b] 上连续，则
2. Y-型区域（先 x 后 y）
若 D = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, ψ₁(y) ≤ x ≤ ψ₂(y)}，则
当一种次序下的内层积分难以计算（如原函数求不出）或积分限分段繁琐时，常需交换积分次序。方法是：先由给定累次积分的上下限还原积分区域 D，画出图形，再按另一种次序重新确定积分限。这是考研高频题型。
二、极坐标系下的计算
作极坐标变换 x = r cosθ, y = r sinθ，则面积元素 dσ = r dr dθ（注意不要遗漏 r）。若极点 O 在区域 D 外部或边界上，设 D = {(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, r₁(θ) ≤ r ≤ r₂(θ)}，则
若极点在 D 内部，设 D = {(r, θ) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ r(θ)}，则内层下限取 0。
何时用极坐标？当出现以下情形时优先考虑极坐标：
(1) 积分区域 D 为圆、圆环、扇形或由圆弧与射线围成；
(2) 被积函数含 x² + y²、y/x、arctan(y/x) 等极坐标下形式简洁的表达式；
(3) 被积函数含 e-(x²+y²) 等在直角坐标下无法积出的因子（极坐标下化为 e-r² 可积）。
否则，一般优先用直角坐标系。遇到 ∫ex²dx 这类不可积内层，必须通过交换次序或换极坐标绕开。
三、坐标系选择小结
| 判别依据 | 选择直角坐标 | 选择极坐标 |
|---|---|---|
| 积分区域特征 | 矩形、三角形、由直线与一般曲线围成 | 圆、圆环、扇形、心脏线等 |
| 被积函数特征 | 含 x、y 的一次项或一般函数 | 含 x²+y²、y/x、arctan(y/x) 等 |
| 面积元素 | dσ = dxdy | dσ = r dr dθ（注意 r） |
| 典型不可积因子 | 含 ex²、sinx/x 等需绕开 | e-(x²+y²) 化为 e-r² 可积 |
三重积分
三重积分 ∭Ω f(x,y,z) dV 是二重积分的自然推广，其定义同样是"分割-求和-取极限"。当 f(x,y,z) = ρ(x,y,z) 表示某物体在点 (x,y,z) 处的密度时，三重积分表示该物体的质量。三重积分的计算关键是选择合适的坐标系，主要分为直角坐标、柱坐标和球坐标三种。
一、直角坐标系下的计算
1. 先一后二（先 z 后 xy，"穿线法"）
设 Ω 在 xOy 面上的投影为 Dxy，过 Dxy 内一点作平行于 z 轴的直线，自下而上从曲面 z = z₁(x,y) 穿入、从 z = z₂(x,y) 穿出，则
2. 先二后一（先 xy 后 z，"截面法"）
当被积函数仅与 z 有关（即 f = f(z)），或 Ω 的截面 Dz 面积易求时，用 z 等于常数的平面截 Ω 得截面 Dz，则
当被积函数仅含 z（如 f = z²）且截面面积 S(z) 容易计算时，"先二后一"极为简便。例如 Ω 为球体、锥体被两水平面所截，截面为圆，面积 πr(z)² 易求。
二、柱坐标系下的计算
柱坐标变换：x = r cosθ, y = r sinθ, z = z，体积元素 dV = r dr dθ dz。当积分区域关于 z 轴有旋转对称性（如圆柱、圆锥、旋转抛物面）且被积函数含 x² + y² 时，使用柱坐标。
三、球坐标系下的计算
球坐标变换：x = r sinφ cosθ, y = r sinφ sinθ, z = r cosφ（其中 r 为到原点距离，φ 为与 z 轴正向夹角，θ 为方位角），体积元素 dV = r² sinφ dr dφ dθ。当积分区域为球、球壳或被积函数含 x² + y² + z² 时使用球坐标。
四、三种坐标系适用场景对比
| 坐标系 | 体积元素 | 适用区域特征 | 适用被积函数 |
|---|---|---|---|
| 直角坐标 | dV = dxdydz | 由平面或一般曲面围成，投影易求 | 一般函数；仅含 z 时用截面法 |
| 柱坐标 | dV = r dr dθ dz | 圆柱、圆锥、旋转抛物面（绕 z 轴对称） | 含 x²+y² 的函数 |
| 球坐标 | dV = r² sinφ dr dφ dθ | 球体、球壳、球锥（以原点为中心） | 含 x²+y²+z² 的函数 |
三种坐标系的体积元素极易混淆：柱坐标乘 r（一个 r），球坐标乘 r² sinφ（r 的平方再乘 sinφ）。球坐标中是 sinφ（φ 的正弦）而非 sinθ，且 φ ∈ [0, π]、θ ∈ [0, 2π]。务必熟记。
第一类曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念
设 L 为 xOy 面上一条光滑或分段光滑的曲线弧，函数 f(x, y) 在 L 上有界。将 L 任意分割成 n 个小弧段，第 i 个小弧段长度为 Δsᵢ，在其上任取一点 (ξᵢ, ηᵢ)，作乘积 f(ξᵢ, ηᵢ)Δsᵢ 并求和。当各小弧段长度的最大值 λ → 0 时，若和的极限存在，则称此极限为 f(x, y) 在 L 上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分），记作
当 f(x, y) = 1 时，∫L ds 表示曲线 L 的弧长。其物理意义为线密度为 f(x, y) 的曲线形构件的质量。
二、第一类曲线积分的性质
第一类曲线积分具有线性性与对弧段的可加性。特别注意：第一类曲线积分与曲线方向无关，即 ∫L f ds = ∫L- f ds（因为弧长 ds 总是正的）。
三、第一类曲线积分的计算（化为定积分）
计算的关键是将曲线 L 用参数方程表示，把曲线积分转化为关于参数的定积分。
1. 参数方程情形
若 L 的参数方程为 x = x(t), y = y(t)（α ≤ t ≤ β），且 x(t), y(t) 在 [α, β] 上具有连续导数，则
注意：下限必须小于上限（α < β），因为弧长微元 ds 为正。
2. 直角坐标情形
若 L 由 y = y(x)（a ≤ x ≤ b）给出，可视参数为 x，则 ds = √(1 + [y'(x)]²) dx：
3. 空间曲线情形
若 Γ: x = x(t), y = y(t), z = z(t)（α ≤ t ≤ β），则
第二类曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念
设 L 为 xOy 面上从点 A 到点 B 的有向光滑曲线弧，向量场 F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y)) 在 L 上有界。将 L 分割成若干有向小弧段，各小段近似取为有向线段，以函数值与位移分量乘积作和取极限，所得极限称为对坐标的曲线积分（第二类曲线积分），记作
其物理意义为力场 F = (P, Q) 沿路径 L 从 A 到 B 所做的功。
二、第二类曲线积分的性质
第二类曲线积分同样具有线性性与对弧段的可加性，但与第一类不同：第二类曲线积分与曲线方向有关，反向取相反符号：
三、第二类曲线积分的计算
1. 参数方程情形
若 L 的参数方程为 x = x(t), y = y(t)，t 由 α 变到 β（对应起点到终点，α 不一定小于 β），则
第二类曲线积分化为定积分时，下限对应起点、上限对应终点，下限不一定小于上限！这是与第一类曲线积分最大的不同，也是常考易错点。
2. 直角坐标情形
若 L 由 y = y(x)（x 从 a 到 b）给出，则 dy = y'(x) dx：
四、两类曲线积分的关系
设 L 上点 (x, y) 处切线向量的方向余弦为 (cosα, cosβ)（切线方向与曲线方向一致），由于 dx = cosα ds, dy = cosβ ds，故两类曲线积分可相互转化：
这一关系在格林公式和场论中起桥梁作用。
格林公式
格林公式建立了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系，是多元积分学最重要的公式之一，也是后续高斯公式、斯托克斯公式的二维原型。
一、格林公式
设闭区域 D 由分段光滑的闭曲线 L 围成，P(x,y), Q(x,y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则有
其中 L 取正向，即沿 L 前行时区域 D 始终在左侧（逆时针方向为外边界正向）。
特别地，取 P = -y, Q = x，可得计算区域面积的公式：SD = (1/2)∮L (x dy - y dx)。
当 ∂P/∂y, ∂Q/∂x 在 D 内某点（如原点）不存在或不连续（即出现奇点）时，不能直接用格林公式。此时采用挖洞法：以奇点为中心作一个充分小的圆（或适当曲线）l，将奇点"挖去"，在复连通区域 D 去掉 l 内部后应用格林公式，外边界与内边界积分之差为零，从而把外边界积分转化为内边界（小圆）上的积分。典型例子：∮ (xdy - ydx)/(x²+y²) 沿包围原点的闭曲线，挖去小圆后内边界积分恒为 2π。
(1) 曲线 L 必须是封闭的。若不封闭，需用"补线法"补成封闭曲线，再用格林公式减去补充线段上的积分；
(2) L 必须取正向，反向需加负号；
(3) P, Q 在 D 上必须有一阶连续偏导（无奇点），否则用挖洞法处理。
二、平面曲线积分与路径无关的条件
设 P(x,y), Q(x,y) 在单连通区域 G 内具有一阶连续偏导数，则以下四个命题等价：
| 序号 | 等价条件 | 含义 |
|---|---|---|
| 1 | ∂P/∂y = ∂Q/∂x（在 G 内处处成立） | 偏导数满足"可积条件" |
| 2 | 对 G 内任意闭曲线 L 有 ∮L P dx + Q dy = 0 | 沿任意闭路积分为零 |
| 3 | ∫L P dx + Q dy 在 G 内与路径无关 | 仅依赖起点与终点 |
| 4 | P dx + Q dy 是某二元函数 u(x,y) 的全微分 | 存在势函数 du = Pdx + Qdy |
当条件满足时，势函数 u(x,y)（原函数）可由下式求出（从固定点 (x₀, y₀) 到 (x, y) 沿折线积分）：
等价条件要求 G 为单连通区域（无"洞"）。若 G 为复连通（如挖去原点的环域），即使 ∂P/∂y = ∂Q/∂x，积分也未必与路径无关（如 (xdy - ydx)/(x²+y²) 在挖去原点的区域上偏导相等但绕原点一周积分非零）。这是考研易设陷阱之处。
第一类与第二类曲面积分
一、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）
设曲面 Σ 光滑，函数 f(x,y,z) 在 Σ 上有界。将 Σ 任意分割成若干小块，第 i 块面积为 ΔSᵢ，在其上任取点 (ξᵢ, ηᵢ, ζᵢ)，作乘积求和取极限。若极限存在，则称为 f 在 Σ 上对面积的曲面积分（第一类曲面积分），记作
当 f 表示面密度时，积分表示曲面形构件的质量；当 f = 1 时表示曲面面积。第一类曲面积分与曲面侧无关。
计算方法（投影法）
设曲面 Σ 的方程为 z = z(x,y)，Σ 在 xOy 面上的投影为 Dxy，则面积元素
类似地，若曲面方程为 y = y(x,z) 或 x = x(y,z)，则分别投影到 xOz 或 yOz 面，注意选择投影不为零、面积元素简单的方向。
二、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）
设 Σ 为有向曲面（指定了一侧），向量场 F = (P, Q, R) 在 Σ 上有界。第二类曲面积分记为
其中 dydz, dzdx, dxdy 分别是有向面积元素在 yOz, zOx, xOy 面上的投影。其物理意义为向量场 F 穿过曲面 Σ（指定侧）的通量。第二类曲面积分与曲面侧有关，换侧取相反符号。
计算方法（化为二重积分）
以 ∬Σ R(x,y,z) dxdy 为例：若 Σ 方程为 z = z(x,y)，投影为 Dxy，则
其中符号由 Σ 的侧决定：Σ 取上侧（法向量与 z 轴正向成锐角，cosγ > 0）取"+"，取下侧取"-"。类似地，∬ P dydz 按前侧正后侧负投影到 yOz 面，∬ Q dzdx 按右侧正左侧负投影到 zOx 面。
三、两类曲面积分的关系
设 Σ 上点 (x,y,z) 处的单位法向量为 n = (cosα, cosβ, cosγ)（与指定侧一致），则 dydz = cosα dS, dzdx = cosβ dS, dxdy = cosγ dS，于是
即第二类曲面积分等于向量场与单位法向量的点积在曲面上的第一类曲面积分，这正是通量的表达式。
高斯公式与斯托克斯公式
高斯公式是格林公式在三维空间的推广，建立了闭曲面积分与三重积分的联系；斯托克斯公式则建立了空间闭曲线积分与曲面积分的联系，是格林公式的三维推广。二者与格林公式共同构成了多元积分学的核心。
一、高斯公式（通量与散度）
设空间闭区域 Ω 由分段光滑的闭曲面 Σ 围成，P, Q, R 在 Ω 上具有一阶连续偏导数，则
其中 Σ 取外侧。
散度：称 div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z 为向量场 F = (P, Q, R) 的散度，则高斯公式可简记为
二、斯托克斯公式（环量与旋度）
设曲面 Σ 的边界为分段光滑的空间闭曲线 Γ，Γ 的正向与 Σ 的侧符合右手规则，P, Q, R 具有一阶连续偏导，则
其中 rot F 为旋度，用行列式表示为
展开后的斯托克斯公式为：
左端为向量场沿闭曲线的环量，右端为旋度在曲面上的通量。
三大公式揭示了统一的物理图景：
格林公式——平面环量 = 旋度的二维通量；
斯托克斯公式——空间环量 = 旋度在曲面上的通量（格林公式的三维推广）；
高斯公式——闭曲面通量 = 散度的体积分。
散度 div F 表示场中一点处的"源"或"汇"强度（正为源，负为汇）；旋度 rot F 表示场在该点的旋转趋势。当 div F ≡ 0 时场无源，rot F ≡ 0 时场无旋。三者本质上都是牛顿-莱布尼茨公式在多维的推广，体现了"边界积分 = 内部积分"的深刻思想。
三、三大公式对照
| 公式 | 联系对象 | 核心表达式 | 场论量 |
|---|---|---|---|
| 格林公式 | 平面闭曲线积分 ↔ 二重积分 | ∮L Pdx+Qdy = ∬D(∂Q/∂x-∂P/∂y)dσ | 二维旋度 |
| 高斯公式 | 闭曲面积分 ↔ 三重积分 | ∯Σ F·dS = ∭Ω div F dV | 散度 |
| 斯托克斯公式 | 空间闭曲线积分 ↔ 曲面积分 | ∮Γ F·dr = ∬Σ rot F·dS | 旋度 |
典型例题
分析：积分区域为圆，且被积函数含 x² + y²，在直角坐标下 e-x² 无法积出，故选用极坐标。
作极坐标变换 x = r cosθ, y = r sinθ, dσ = r dr dθ。圆域 x² + y² ≤ 1 在极坐标下表示为 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1。
∬D e-(x²+y²) dσ = ∫02π dθ ∫01 e-r² · r dr
内层积分：∫01 r e-r² dr，令 u = r², du = 2r dr，则 ∫01 r e-r² dr = (1/2)∫01 e-u du = [-e-u/2]01 = (1 - e-1)/2。
外层积分：∫02π (1 - e-1)/2 dθ = 2π · (1 - e-1)/2 = π(1 - 1/e)。
因此原积分 = π(1 - 1/e)。
分析：L 不封闭，且被积函数较复杂。记 P = ex sin y - 2y, Q = ex cos y - 2，有 ∂P/∂y = ex cos y - 2, ∂Q/∂x = ex cos y，故 ∂Q/∂x - ∂P/∂y = 2，形式简洁，宜用格林公式。需补一条线段使路径封闭。
补充有向线段 L₁：从 (-1, 0) 沿 x 轴到 (1, 0)，即 y = 0, dy = 0, x ∈ [-1, 1]。则 L + L₁ 构成上半圆区域的正向边界（逆时针），记所围区域为 D（上半单位圆，面积 π/2）。
由格林公式：
∫L + ∫L₁ = ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dσ = ∬D 2 dσ = 2 · SD = 2 · (π/2) = π
计算补充线段上的积分：在 L₁ 上 y = 0, dy = 0, sin y = 0，故 P = ex·0 - 0 = 0, Q dy = 0，所以 ∫L₁ = ∫-11 0 dx = 0。
因此 ∫L = π - ∫L₁ = π - 0 = π。
分析：这是对面积的曲面积分，曲面方程已给出显式 z = z(x,y)，将其投影到 xOy 面化为二重积分。
Σ 在 xOy 面上的投影区域为 Dxy: x² + y² ≤ a²。计算偏导：
∂z/∂x = -x/√(a² - x² - y²), ∂z/∂y = -y/√(a² - x² - y²)
面积元素：dS = √(1 + zx² + zy²) dxdy = √(1 + (x² + y²)/(a² - x² - y²)) dxdy = a/√(a² - x² - y²) dxdy
于是
∬Σ z dS = ∬Dxy √(a² - x² - y²) · [a/√(a² - x² - y²)] dxdy = ∬Dxy a dxdy = a · SDxy = a · πa² = πa³
可以看到，由于面积元素中恰好出现 √(a² - x² - y²) 与被积函数中的 z = √(a² - x² - y²) 相消，计算被大大简化。结果为 πa³。
分析：Σ 为封闭曲面且取外侧，被积函数 P = x, Q = y, R = z 处处有连续偏导，无奇点，可直接用高斯公式。
计算散度：div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z = 1 + 1 + 1 = 3。
由高斯公式，设 Σ 所围球体为 Ω（体积 (4/3)πR³）：
∯Σ (x dydz + y dzdx + z dxdy) = ∭Ω 3 dV = 3 · VΩ = 3 · (4/3)πR³ = 4πR³
若不使用高斯公式而分三个投影分别计算将相当繁琐，高斯公式将曲面积分转化为简单的三重积分（散度为常数），体现了其强大威力。结果为 4πR³。
📖 章节小结
- 二重积分的本质是分割-求和-取极限，几何意义为曲顶柱体体积。计算核心是化为二次积分：根据区域形状选择直角坐标（X型先y后x、Y型先x后y）或极坐标（dσ = r dr dθ，勿漏 r）。含 x²+y²、圆域时优先极坐标；含 ex² 等不可积因子时通过交换次序或换极坐标绕开。
- 三重积分有三种坐标系：直角坐标（穿线法先一后二、截面法先二后一，后者适合被积函数仅含 z）、柱坐标（dV = r dr dθ dz，适合旋转对称区域）、球坐标（dV = r² sinφ dr dφ dθ，适合球域及含 x²+y²+z²）。务必牢记三种体积元素，球坐标中是 sinφ 且 φ∈[0,π]。
- 两类曲线积分：第一类（对弧长 ds）与方向无关、下限小于上限；第二类（对坐标 dx, dy）与方向有关、下限对应起点上限对应终点。两者关系 ∫ Pdx+Qdy = ∫ (Pcosα+Qcosβ) ds。
- 格林公式是平面闭曲线上第二类曲线积分与所围区域二重积分的桥梁：∮ Pdx+Qdy = ∬(∂Q/∂x−∂P/∂y)dσ。使用三前提：封闭、正向、无奇点。非封闭用"补线法"，有奇点用"挖洞法"。在单连通区域内，∂P/∂y=∂Q/∂x 是积分与路径无关（存在势函数）的充要条件。
- 两类曲面积分：第一类（对面积 dS）与侧无关、面积元素 √(1+zx²+zy²)dxdy；第二类（对坐标 dydz, dzdx, dxdy）与侧有关、按投影正负定符号（上侧/前侧/右侧为正）。关系 ∬ P dydz+Q dzdx+R dxdy = ∬(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS，即向量场穿过曲面的通量。
- 高斯公式将闭曲面外侧的第二类曲面积分转化为内部散度的三重积分：∯ F·dS = ∭ div F dV。散度 div F = ∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z 表示源的强度。
- 斯托克斯公式将空间闭曲线积分转化为曲面上旋度的通量：∮ F·dr = ∬ rot F·dS，旋度 rot F = ∇×F。它是格林公式的三维推广，联系环量与旋度。
- 三大公式的统一思想：边界积分 = 内部积分（散度/旋度的积分），是牛顿-莱布尼茨公式在多维的推广。格林↔二维旋度，斯托克斯↔三维旋度（环量），高斯↔散度（通量）。解题时先判封闭性与奇点，再选公式；遇未封闭用补面/补线，遇奇点用挖洞。