2 第1章：集合与常用逻辑用语
数学离不开集合语言——它是描述数学对象的通用工具，也是高中数学的逻辑基础。
集合与常用逻辑用语
用集合的语言描述世界，用逻辑的工具思考问题
2.1 1.1 集合的概念
2.1.1 什么是集合？
想象你的书包：里面放了语文书、数学书、英语书……
书包就是一个"集合"，每本书就是一个"元素"。
集合中的元素：①确定性（要么在要么不在，没有模糊）②互异性（不重复）③无序性（不分先后）
集合（set）：把一些确定的、互不相同的对象汇集在一起，就构成一个集合。
常用数集： - \(\mathbb{N}\) — 自然数集（含 0） - \(\mathbb{N}^*\)（或 \(\mathbb{N}_+\)）— 正整数集 - \(\mathbb{Z}\) — 整数集 - \(\mathbb{Q}\) — 有理数集 - \(\mathbb{R}\) — 实数集
2.1.2 集合的表示方法
| 方法 | 说明 | 示例 |
|---|---|---|
| 列举法 | 将所有元素一一列出 | \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) |
| 描述法 | 用元素的公共属性描述 | \(B = \{x \mid x \in \mathbb{N}^*, x \leq 5\}\) |
| Venn 图 | 用图形直观表示 | 见下图 |
A = {1, 3, 5, 7}（紫色椭圆）
B = {5, 7, 9, 11}（蓝色椭圆）
点击按钮查看各运算结果 →
2.2 1.2 集合间的基本关系
子集：若集合 \(A\) 的每个元素都属于集合 \(B\)，则称 \(A\) 是 \(B\) 的子集，记作 \(A \subseteq B\)（\(A\) 被包含于 \(B\)）。
真子集：若 \(A \subseteq B\) 且 \(A \neq B\)，则 \(A\) 是 \(B\) 的真子集，记作 \(A \subsetneq B\)（\(A\) 真包含于 \(B\)）。
集合相等：\(A = B \iff A \subseteq B\) 且 \(B \subseteq A\)。
空集：不含任何元素的集合，记作 \(\varnothing\)。空集是任何集合的子集：\(\varnothing \subseteq A\)。
含 n 个元素的集合，共有 \(2^n\) 个子集，\(2^n - 1\) 个真子集（空集是任何集合的子集但不是非空集合的真子集）。
2.3 1.3 集合的基本运算
\[A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}\]
\[A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}\]
\[\complement_U A = \{x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A\}\]
| 运算 | 符号 | 含义 | 德摩根律 |
|---|---|---|---|
| 交集 | \(A \cap B\) | 共同元素 | \(\complement_U(A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B\) |
| 并集 | \(A \cup B\) | 全部元素 | \(\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B\) |
| 补集 | \(\complement_U A\) | U 中不属于 A 的元素 | — |
2.4 1.4 充分条件与必要条件
"下雨了 ⇒ 地面湿"（充分条件：下雨足够保证地面湿）
"地面湿 ⇒ 下了雨"（不一定！可能是洒水车，所以"地面湿"是下雨的必要但不充分条件）
设 \(p\)、\(q\) 是两个命题，“若 \(p\) 则 \(q\)”记作 \(p \Rightarrow q\)：
\[p \Rightarrow q \text{ 成立} \iff p \text{ 是 } q \text{ 的充分条件，} q \text{ 是 } p \text{ 的必要条件}\]
| 条件关系 | 含义 | 关键词 |
|---|---|---|
| 充分不必要 | \(p \Rightarrow q\)，但 \(q \not\Rightarrow p\) | “p 是 q 的充分不必要条件” |
| 必要不充分 | \(q \Rightarrow p\)，但 \(p \not\Rightarrow q\) | “p 是 q 的必要不充分条件” |
| 充要条件 | \(p \Leftrightarrow q\) | “p 是 q 的充要条件”（等价条件） |
| 既不充分也不必要 | 互不推出 | — |
"无之必不然"→ 充分条件（没有它就一定推不出来，叫充分条件）
2.5 1.5 全称量词与存在量词
全称量词：\(\forall\)（任意，所有），“\(\forall x \in M, p(x)\)” 表示集合 \(M\) 中所有元素都满足 \(p(x)\)。
存在量词：\(\exists\)（存在），“\(\exists x_0 \in M, p(x_0)\)” 表示集合 \(M\) 中存在某个元素满足 \(p(x_0)\)。
否命题关系：
\[\neg(\forall x \in M,\ p(x)) \iff \exists x_0 \in M,\ \neg p(x_0)\] \[\neg(\exists x_0 \in M,\ p(x_0)) \iff \forall x \in M,\ \neg p(x)\]
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
例："所有实数的平方都非负" 的否定是 "存在实数的平方为负"
✏️ 章节练习
（提示：先求 ∁ᵤB，再求与 A 的交集）
p：x＞2；q：x＞1
📋 本章知识小结
- 集合三要素：元素的确定性、互异性、无序性
- 子集关系：A⊆B ⟺ A 的所有元素都在 B 中；含 n 个元素的集合有 2ⁿ 个子集
- 三大运算：交集（∩）、并集（∪）、补集（∁ᵤ）；满足德摩根律
- 充要判断口诀："p⇒q 成立，p 充分；q⇒p 成立，p 必要"
- 量词否定：全称→特称，特称→全称；否命题中量词互换，结论取反