5 第4章：指数函数与对数函数
指数函数描述”快速增长”，对数函数描述”缓慢增长”，两者互为逆函数，是现实世界最常用的数学模型。
指数函数与对数函数
感受指数爆炸，理解对数压缩，探索两者的逆函数关系
5.1 4.1 指数
5.1.1 有理指数
| 形式 | 定义 | 示例 |
|---|---|---|
| \(a^0\) | \(1\)（\(a \neq 0\)） | \(5^0 = 1\) |
| \(a^{-n}\) | \(\dfrac{1}{a^n}\)（\(a \neq 0\)） | \(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\) |
| \(a^{1/n}\) | \(\sqrt[n]{a}\) | \(8^{1/3} = 2\) |
| \(a^{m/n}\) | \(\sqrt[n]{a^m}\) | \(4^{3/2} = 8\) |
指数运算法则（\(a > 0, b > 0\)，\(m, n \in \mathbb{R}\)）：
\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}\] \[(ab)^n = a^n b^n, \quad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\]
5.2 4.2 指数函数
定义：\(f(x) = a^x\)，其中 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)，\(x \in \mathbb{R}\)。
把一张纸折叠 42 次，厚度超过月球到地球的距离！这就是指数增长的恐怖力量。
a>1（如细菌繁殖）：越来越快地增长；0<a<1（如放射性衰减）：越来越慢地消减。
| 性质 | \(a > 1\) | \(0 < a < 1\) |
|---|---|---|
| 定义域 | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| 值域 | \((0, +\infty)\) | \((0, +\infty)\) |
| 过定点 | \((0, 1)\) | \((0, 1)\) |
| 单调性 | 递增 | 递减 |
| 趋势 | \(x→+\infty\)，\(y→+\infty\) | \(x→+\infty\)，\(y→0^+\) |
5.3 4.3 对数
定义：若 \(a^b = N\)（\(a > 0, a \neq 1, N > 0\)），则 \(b\) 叫做以 \(a\) 为底 \(N\) 的对数，记作：
\[b = \log_a N\]
\[\log_a a = 1, \quad \log_a 1 = 0, \quad a^{\log_a N} = N\]
对数运算法则（\(M, N > 0\)，\(a > 0\)，\(a \neq 1\)）：
\[\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N\] \[\log_a\frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N\] \[\log_a M^n = n\log_a M\]
换底公式：\(\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a} = \dfrac{\log b}{\log a}\)（\(b > 0\)，\(b \neq 1\)）
常用对数（以10为底）：lg N = log₁₀ N
自然对数（以e≈2.718...为底）：ln N = log_e N
换底：log_a b = lg b / lg a = ln b / ln a
5.4 4.4 对数函数
定义：\(f(x) = \log_a x\)，其中 \(a > 0, a \neq 1\)，\(x \in (0, +\infty)\)。
| 性质 | \(a > 1\) | \(0 < a < 1\) |
|---|---|---|
| 定义域 | \((0,+\infty)\) | \((0,+\infty)\) |
| 值域 | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| 过定点 | \((1, 0)\) | \((1, 0)\) |
| 单调性 | 递增 | 递减 |
指数函数与对数函数互为反函数：\(y = a^x\) 与 \(y = \log_a x\) 的图像关于 \(y = x\) 对称。
5.5 4.5 函数的应用（二）
A = P·(1+r)ⁿ，本金 P 元，年利率 r，存 n 年后的本利和
✏️ 章节练习
📋 本章知识小结
- 指数函数 aˣ：a>1递增，0<a<1递减，过点(0,1)，值域(0,+∞)
- 对数是指数的逆运算：log_a N = b ⟺ a^b = N，换底公式 log_a b = ln b/ln a
- 对数函数 log_a x：a>1递增，0<a<1递减，过点(1,0)，定义域(0,+∞)
- 互为反函数：aˣ 与 log_a x 图像关于 y=x 对称