3 第2章：一元二次函数、方程和不等式
二次函数是高中数学的核心模型，与方程、不等式紧密相连，构成一套完整的代数分析体系。
一元二次函数、方程和不等式
探索抛物线的奥秘，掌握不等式的解法艺术
3.1 2.1 等式性质与不等式性质
天平两端平衡（等式）时，同时加减相同重量或同乘同除同一个正数，天平仍然平衡。
但乘以负数时，两边大小关系会翻转——这是不等式最重要的性质！
不等式基本性质：
| 性质 | 描述 | 公式 |
|---|---|---|
| 传递性 | 大小关系可传递 | \(a > b, b > c \Rightarrow a > c\) |
| 加法不变 | 两边加同一数，方向不变 | \(a > b \Rightarrow a+c > b+c\) |
| 乘正不变 | 乘以正数，方向不变 | \(a > b, c>0 \Rightarrow ac > bc\) |
| 乘负变向 | ⚠️ 乘以负数，方向改变 | \(a > b, c<0 \Rightarrow ac < bc\) |
| 同向可加 | 同向不等式可相加 | \(a>b, c>d \Rightarrow a+c > b+d\) |
| 同正可乘 | 同正同向不等式可相乘 | \(a>b>0, c>d>0 \Rightarrow ac>bd\) |
3.2 2.2 基本不等式（AM-GM 不等式）
\[\boxed{\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \quad (a, b > 0)}\]
等号成立的条件：\(a = b\)。
\( a + b \geq 2\sqrt{ab} \)（等号当且仅当 \(a=b\) 时成立）
常用形式：已知 \(a+b=S\) 常数，则 \(ab \leq \dfrac{S^2}{4}\)
设 a+b = 常数 S（如 S=4），验证：当 a=b=S/2 时，ab 取最大值
3.3 2.3 二次函数与一元二次方程
把石头抛出去的轨迹是抛物线——二次函数 y=ax²+bx+c 的图像。
顶点是最高点（或最低点），对称轴是抛物线中轴，判别式决定落地点（根的个数）。
二次函数 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)（\(a \neq 0\)）的关键特征：
\[\text{顶点：}\left(-\frac{b}{2a},\ f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right), \quad \text{对称轴：}x = -\frac{b}{2a}\]
\[\text{判别式：}\Delta = b^2 - 4ac \begin{cases} >0 & \text{两个不等实根} \\ =0 & \text{两个相等实根} \\ <0 & \text{无实根} \end{cases}\]
\[\text{求根公式：}x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
3.4 2.4 一元二次不等式
方法：先解对应的一元二次方程，再结合抛物线开口方向判断不等式的解集。
| 条件 | \(ax^2+bx+c>0\) 的解集 | \(ax^2+bx+c<0\) 的解集 |
|---|---|---|
| \(a>0\)，\(\Delta>0\)（根 \(x_1<x_2\)） | \((-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)\) | \((x_1,x_2)\) |
| \(a>0\)，\(\Delta=0\)（根 \(x_0\)） | \((-\infty,x_0)\cup(x_0,+\infty)\) | \(\varnothing\) |
| \(a>0\)，\(\Delta<0\) | \(\mathbb{R}\) | \(\varnothing\) |
① 化为 ax²+bx+c≥0 标准形式（ax²+bx+c 在 x 轴上方/下方）
② 解对应方程 ax²+bx+c=0，求根 x₁, x₂
③ 画出抛物线草图（判断 a 的符号和根的个数）
④ 从草图直接读出解集区间
✏️ 章节练习
📋 本章知识小结
- 不等式乘负数变向：这是最常见的错误来源，务必牢记
- 基本不等式：a+b≥2√ab，等号条件 a=b；用于"积定求和最小/和定求积最大"
- 二次函数三要素：顶点坐标、对称轴方程、判别式
- 解二次不等式：先解方程→画草图→从图读解集，a>0时"开口向上"在两根之外取大